Vers la terminale : évolution de la répartition du marché

Deux sociétés A et B se répartissent un marché. Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution de la part de marché de chacune des sociétés au fil des années.

En `2025`, on sait que la société A possède `40\%`du marché et la société B le reste. Par ailleurs, une étude réalisée par une des deux sociétés montre que, dans le futur, d'une année à l'autre :

• `2\%`des clients de la société A changeront pour la B ;
  
• `3\%`des clients de la société B changeront pour la A ;
  
• les autres clients resteront dans la même société que l'année précédente.
  

On note alors `a_n` la proportion du marché que possède la société A et `b_n` celle que possède la société B  à l'année `2025+n` . Ainsi \(a_0=0{,}4\).

1. Déterminer`` la valeur de \(b_0\).
2. Déterminer `a_1` et `b_1`.
3. Déterminer une relation entre `a_n` et `b_n` pour tout entier naturel `n`.
4. Montrer que, pour tout entier naturel `n`, \(a_{n+1}=0{,}98a_n+0{,}03b_n\), puis déduire de la question précédente que \(a_{n+1}=0{,}95a_n+0{,}03\).
5. On pose \(c_n=a_n-0{,}6\). Montrer que, pour tout entier naturel `n`, \(c_{n+1}=0{,}95c_n\) et en déduire que `(c_n)` est une suite géométrique dont on précisera la raison ainsi que le premier terme.
6. On a alors, pour tout entier naturel `n`, \(c_n=c_0\times(0{,}95)^n\). En déduire une expression en fonction de `n` de `a_n`, puis de `b_n`.
7. Le gérant de la société A annonce à ses actionnaires qu'à long terme sa société possèdera `60\%`du marché. À l'aide de la calculatrice, répondre à cette conjecture.